＞ ひょっとして、まったく新規の契約料がいるのでしょうか？
＞そのまま名義変更しないで使用（親会社を通して家賃を支払う）するとどんな問題になりますか？
この問題は家主の考え次第と思います。つまり、子会社として別会社となったことを、従前会社との契約を解除して新会社との新規な契約と見れば、全く、新しい契約になるでしようが、家主が、もともと同じ会社だから、そして出入りする者も員数も変わらないから契約内容に変更がなかったと思えば、従前の契約は維持されていることになります。
いずれにしても、内容を正確に伝え「従前通りでよろしくお願いいたします。」などと社内に変更があったことを伝えておくべきと思います。賃貸借関係は信頼が重要ですから。