＞ 署名捺印して提出せよとの事なのですが、この場合どうしたら宜しいのでしょうか？
署名捺印すれば、そこに書いてある日時までに引っ越すことになりますし、拒絶すれば、今までどうりに居ることができます。その選択はあつみさんの自由です。
＞この事で精神的にかなりの苦痛になっているのです
それはそうかも知れませんが、一度は、いや今まで家主は遅れたことを黙認していたわけでしょ。そして、今では２ヶ月分ずつ入れているわけでしょ。そうなら、それほど心配することはないと思いますよ。どうしても心配なら簡易裁判所で相談して下さい。