＞ それまでの間、更新を延期してもらうことはできないのでしょうか？
＞ また、更新案内は受け取ったのですが、返答期限のようなものは
＞ 記載されていなかったため、まだ返事をしていません。
契約書に解約するときの条件など記載されていませんか？
引っ越す時は１ヶ月前までにとか、２ヶ月前までに通知することなど書いてあれば、それに従わなければなりません。更新をするしないとは別に解約の時期（引っ越しの）を、決まっているなら話していてください。
更新のことと引っ越し（解約）のことは別なことと考え、更新したからと云って、その間、解約はできないことはないと考えますし、更新しないから、今日、明け渡してくれ、とは云えませんので、更新より解約のことが大切ですから。