＞契約書が新しくなるようで「建物賃貸借契約書」から「定期建物賃貸借契約書」になるようです。しかし、この定期建物賃貸借契約書に契約してしまうと、立ち退く際に敷金しかもらえないような事になってしまうようです。（？）です。
定期建物賃貸借契約書に契約したからと云って敷金が戻らないと云うことはありません。
＞ もうすぐ家賃の支払いの日にちが近づいてきます。このような場合は、誰に家賃を支払ったらよいのでしょうか？
従前の賃貸人に従前の契約内容（賃料）で支払います。受け取らないなら供託します。お近くの法務局に相談して下さい。また、誰に支払ってよいかわからない場合も供託し家賃の滞納を防ぎます。