状況は非常に緊迫しています。今こそ「勝負」です。結論から云いますと、緊急を要することなのですが、この文面だけでは権利関係が不十分です。そのため対処の方法が明確に云えません。云えることは、１Ｆの引渡命令に対して執行抗告することです。それが確定していてできないなら「仮処分」で２Ｆを使用するために必要な部分１Ｆの通路とトイレなどの通行や使用の確保しておくことです。家賃の供託は「受領しない」を理由に至急して下さい。
ＵＹさんが東京か周辺首都圏なら私が代理となってもかまいません。相手が経験を積んだプロなら私のことを知っているはずです。「法的対抗」たけでなく双方の利益を考え進めてもかまいません。
「委任する旨を伝えたところ弁護士以外は認めない」と云っているようでは、たいしたことはなくプロとは云えない者でしよう。