＞ 賃借人に厳しい内容で複雑な気持ちです。何か参考になる条文や判例があれば教えていただければ幸いです。
自己の所有する所有権を万人に対抗するためには民法１７７条の登記が必要です。
今回の場合新所有者が所有権を取得した日（登記の日）が平成１４年１月１０日ですからその日から支払い義務が発生します。
競売開始決定の差押の効力は民事執行法４６条に規定してあり、その差押の登記があれば、その後の取引は万人に対して買受人に対抗することができなくなっています。
＞ 新所有者への競売売却日が平成１４年１月８日で所有権受付日が平成１４年１月１０日です。
＞ 元所有者への前年末振込の今年１月分家賃に関して、契約書通り翌月分を前月末に今まで払ってきたのですが、今後こういうことが起こることもありうるわけで、家賃は当該月の月末までに払う方が賢明なのでしょうか。
今後のことは、今後契約時に、「前払い」か「後払いか」を決めておればいいですが、一般的には「前払い」のようです。
＞ それとも競売される恐れがある場合は、二重払いを避ける方法が他にあるのでしょうか。
支払わなければいいではないでしようか。ただし、明渡を求められるかも知れませんが。
何でもそうですが、早めに対処すればキズも少なくてすみます。
＞ ちなみに元所有者は行方不明で精算するにもできない状況で泣き寝入りとなるのでしょうか。
今回の場合は、不当利得返還請求権と云う法律で保護しており、それ以上、法律は（国家は）相手が行方不明だから取れない、とか、相手に財産がないから取れない、などまで保証していません。
＞ 賃借人に何か対処法か救済措置があればお教え下さい。
それを考える前に、賃借人の賃借権と、賃貸人の所有権の優劣を考えてみて下さい。賃借権は「債権」で所有権は「物権」です。物権の方が圧倒的に強い権利です。